最小公倍数・最大公約数とは
- 倍数：ある数に 1, 2, 3 … を掛けた数（4 の倍数は 4, 8, 12, 16 …）
- 公倍数：2つ以上の数に共通する倍数。そのうちいちばん小さいものが最小公倍数
- 約数：ある数を割り切れる数（12 の約数は 1, 2, 3, 4, 6, 12）
- 公約数：2つ以上の数に共通する約数。そのうちいちばん大きいものが最大公約数
例：4 と 6 の公倍数は 12, 24, 36 … なので最小公倍数は 12。12 と 18 の公約数は 1, 2, 3, 6 なので最大公約数は 6 です。 倍数・約数・最小公倍数・最大公約数は小学5年生、素因数分解を使った求め方は中学1年生で習います。英語では最小公倍数を LCM（least common multiple）、最大公約数を GCD（greatest common divisor、GCF・HCF とも）と書きます。
計算機の使い方
- 2つの数（3つでもOK）を入れます。
- 最小公倍数・最大公約数と、公約数の一覧、それぞれの数の素因数分解が表示されます。
- 最大公約数が 1 のときは「互いに素」と表示します。
素因数分解を使った求め方
12 と 18 を素因数分解すると 12 = 2² × 3、18 = 2 × 3² です。
- 最大公約数：共通する素因数を、小さいほうの指数で掛ける → 2 × 3 = 6
- 最小公倍数：出てくる素因数すべてを、大きいほうの指数で掛ける → 2² × 3² = 36
2つの数なら「最大公約数 × 最小公倍数 = 2つの数の積」になります（6 × 36 = 12 × 18 = 216）。素因数分解は素因数分解の計算機でできます。
連除法（すだれ算）での求め方
2つの数を共通に割れる数で割っていき、割れなくなったら止めます。12 と 18 は 2 で割って 6 と 9、さらに 3 で割って 2 と 3。 左に並んだ数を掛けた 2 × 3 = 6 が最大公約数、それに残った 2 と 3 も掛けた 6 × 2 × 3 = 36 が最小公倍数です。
大きな数はユークリッドの互除法
大きな数の最大公約数は、「大きい数を小さい数で割り、割る数を余りで割る」をくり返し、割り切れたときの割る数が答えです（高校の数学Aで習います）。1,071 と 1,029 の場合：
- 1,071 = 1,029 × 1 + 42
- 1,029 = 42 × 24 + 21
- 42 = 21 × 2 + 0
割り切れたときの割る数 21 が最大公約数です。
最小公倍数・最大公約数の早見表
| 数 | 最小公倍数 | 最大公約数 |
|---|---|---|
| 2 と 3 | 6 | 1 |
| 4 と 6 | 12 | 2 |
| 6 と 8 | 24 | 2 |
| 6 と 9 | 18 | 3 |
| 8 と 12 | 24 | 4 |
| 9 と 12 | 36 | 3 |
| 12 と 18 | 36 | 6 |
| 15 と 20 | 60 | 5 |
| 16 と 24 | 48 | 8 |
| 18 と 24 | 72 | 6 |
| 24 と 36 | 72 | 12 |
| 3 と 4 と 5 | 60 | 1 |
| 4 と 6 と 8 | 24 | 2 |
| 6 と 10 と 15 | 30 | 1 |
よく出る文章題
| 問題 | 使うもの | 答え |
|---|---|---|
| 12分おきと18分おきに出るバスが9時に同時に出た。次に同時に出るのは？ | 最小公倍数 | 36分後の 9時36分 |
| 縦12cm・横18cmのタイルを同じ向きに並べて、いちばん小さい正方形を作る。一辺は？ | 最小公倍数 | 36cm（タイル 6枚） |
| 縦48cm・横60cmの紙を、余りが出ないように同じ大きさのいちばん大きい正方形に切る。一辺は？ | 最大公約数 | 12cm（20枚） |
| あめ24個とクッキー36個を、余りなく同じ数ずつ分ける。いちばん多くて何人に分けられる？ | 最大公約数 | 12人（あめ2個・クッキー3個ずつ） |
「同時に・次にそろう・いちばん小さい」は最小公倍数、「余りなく分ける・いちばん大きい・いちばん多く」は最大公約数、と覚えておくと見分けやすくなります。
どんなときに使う？
分数の通分は分母の最小公倍数に、約分は分子と分母の最大公約数で割ってそろえます。分数の計算そのものは分数電卓、 1つの数の約数や素数判定は素因数分解のページで計算できます。
よくある質問
最小公倍数とは何ですか？
2つ以上の数のどれでも割り切れる数（公倍数）のうち、いちばん小さい数です。12 と 18 の最小公倍数は 36 です。
最大公約数とは何ですか？
2つ以上の数をどれも割り切れる数（公約数）のうち、いちばん大きい数です。12 と 18 の公約数は 1・2・3・6 で、最大公約数は 6 です。
3つの数の最小公倍数も求められますか？
はい。3つ目の欄に入力すると、3つの数の最小公倍数と最大公約数を計算します。
「互いに素」とは？
最大公約数が 1 になる2つの数のことです（例：7 と 13）。このとき最小公倍数は2つの数の積になります。
どれくらい大きな数まで計算できますか？
1〜1兆までの整数です。最小公倍数はそれ以上の大きな数になっても正確に表示します。